SERIE FIBONACCI

 Los números de Fibonacci

Existen diferentes formas para calcular los números de Fibonacci:

1. Partiendo de los números 0 y 1, los números de Fibonacci quedan definidos por la función

2. Función generadora: Una función generadora para una sucesión cualquiera a0, a1, a2,… es la función f(X) = a0 + a1x + a2x2+…, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora:

3. Fórmula explícita: Esta manera de calcular los números de Fibonacci utiliza la expresión del número áureo:

Los números de Fibonacci en las matemáticas

Número áureo

El número áureo, número de oro o divina proporción es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b): la longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.

Entre sus numerosas propiedades destaca una: el propio número, su cuadrado y su inverso tienen las mismas cifras decimales:

La razón o cociente entre un término de Fibonacci y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo:

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Esto es, cada fila del triángulo representa los coeficientes de los monomios que aparecen en el desarrollo del binomio (a + b)n(tomando el 1 de arriba como la potencia n = 0) o, lo que es lo mismo, los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila del triángulo de Pascal.

La construcción de dicho triángulo es la siguiente:

Colocamos un 1 en el vértice superior del triángulo. Después, en la fila inferior, colocamos un 1 a la derecha y un 1 a la izquierda del 1 de arriba. En las filas inferiores, colocamos 1s en los extremos y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números inmediatamente superiores.

Este triángulo tiene varias propiedades curiosas:

1. Si sumamos los elementos de cada fila obtenemos las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16,…
2. Si sumamos dos elementos consecutivos de la diagonal 1-3-6-10-15-… obtenemos un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25,…
3. Si en una fila el primer número después del 1 es un número primo se cumple que todos los demás números son divisibles por ese número primo (excluyendo los 1s claro). Por ejemplo, en la fila 1-7-21-35-35-21-7-1 el primer número después del 1 es el 7, que es primo. Si nos fijamos en el resto de número, 35, 21 y 7, todos son divisibles por 7.

Pero la principal curiosidad de este triángulo es la propiedad que le relaciona con los números de Fibonacci:

Ternas Pitagóricas

Una terna pitagórica consiste en una tripla (a, b, c) que cumple que a² + b² = c² (teorema de Pitágoras).

Existe una estrecha relación entre los números de Fibonacci y las ternas pitagóricas, ya que si cogemos cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, (x, y, w, z) podemos conseguir una terna pitagórica si realizamos las siguientes asignaciones:

1. Sea ‘a’ el producto de los números que pertenecen a los extremos. a = xz.
2. Sea ‘b’ el doble del producto de los números intermedio. b = 2yw.
3. Sea ‘c’ la suma del producto de los números que están en posición impar y el producto de los números que están en posición par. c = xw + zy.

Entonces (a, b, c) es una terna pitagórica.

Los números de Fibonacci en las técnicas de trading

En trading, los números de Fibonacci aparecen en los denominados estudios de Fibonacci. Los estudios de Fibonacci engloban a una serie de herramientas de análisis basadas en la secuencia y proporciones de Fibonacci, que representan leyes geométricas de la naturaleza y el comportamiento humano aplicadas a los mercados financieros.

Las herramientas más populares son los retrocesos de Fibonacci, las extensiones de Fibonacci, los arcos de Fibonacci, el abanico de Fibonacci y las zonas temporales de Fibonacci. Otras herramientas menos populares son la elipse de Fibonacci, la espiral de Fibonacci y los canales de Fibonacci. En el siguiente post veremos cómo funcionan estas herramientas.

TRIANGULOS DE PASCAL

Los triangulos de pascal 

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito.

Triángulo de Pascal y números Combinatorios

El número combinatorio C^m _n (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1. 

1            1    1         1    2    1      1    3    3    1    1    4    6    4    1 1   5   10  10    5   1             ...

Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila. 
Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.

Por el contrario, a la fórmula de los números combinatorios se le puede dar el carácter de fórmula general del triángulo para saber, sin necesidad de construir todas las filas anteriores, cuál es el número que ocupa un lugar determinado,:

Triángulo de Pascal y Binomio de Newtón

La fórmula es:

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:
          (a + b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

Más propiedades del triángulo de Pascal:

Lo difícil es mirar este triángulo durante un par de minutos y no encontrarle alguna regularidad oculta.

• Números poligonales
  
  ¿Podríais decir qué sucesiones son las que forman las diagonales del triángulo? Las primeras de la izquierda y la derecha no son más que unos. Las segunda forman la sucesión de los números naturales... ¿Y la tercera? ¿Y la cuarta? 
  
  
  
  En la diagonal tercera marcada aparecen
  los números triangulares
  , pero además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonales, es decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez números triangulares.
  
  
  
  
  Los números cuadrados
  se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...
  De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal. 


• Números primos
  Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.


• La suma de los elementos
  La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila. Así:
  2⁰ = 1
  2¹ = 1+1 = 2
  2² = 1+2+1 = 4
  2³ = 1+3+3+1 = 8
  2⁴ = 1+4+6+4+1 = 16


• Sucesión de Fibonacci
  La serie de Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión.
  Recordemos que esta sucesión (que, por cierto, se construye de manera similar al triángulo de Pascal), es:
  1,1,2,3,5,8,13,21,...
  (a_n+1 = a_n + a_n-1con a₀ = 1, a₁= 1)
  


• Potencias de 11 
  Podemos interpretar cada fila como un único número. Si la fila está formada por números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos:
  1-2-1............................ 121 = 11²
  Cuando los números de la fila constan de más de un dígito, se "reparten" para formar el número final como se observa en el ejemplo siguiente para la fila 5:
  1-5-10-10-5-1........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 11⁵


• El "stick de hockey"
  
  
  
  Cualquier diagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad:
  La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.
  
  
• El triángulo de Sierpinski El curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares del triángulo y de blanco los pares, recuerda altriángulo de Sierpinski , uun famoso conjunto geométrico (un fractal determinístico que se puede construir a partir de cualquier triángulo) El applet de Java de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se va aproximando al triángulo de Sierpinski.



• Cambiando extremos

  2            1   2         1   3   2      1   4   5   2    1   5   9   7  2 1   6   14  16  9  2             ......

  ¿Qué pasaría si cambiamos los unos de uno de los lados externos del triángulo de Pascal por doses ?. ¿Qué relaciones numéricas se pueden encontrar? ¿Qué sucedería si en lugar de doses colocamos treses o cuatros?