TEORIA DE CONJUNTOS

 1-.Concepto de conjunto. Se denomina conjunto a la agrupación de entes o elementos, que poseen una o varias características en común. Es un concepto intuitivo empleado en matemática, que elaboró la teoría de conjuntos.

Para otros usos de este término, véase Conjunto (desambiguación).

Los diversos polígonos en la imagenconstituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Ros es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

El término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la estructura matemática. Generalmente, esta palabra se acepta en matemáticas como un término indefinido, tal como en geometría que toma, entre otros, los términos punto, línea, plano, que sin definición pero si de manera intuitiva. Similarmente sucede con el término elemento.
La teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas que tiene un objeto de estudio propio; con métodos propios, con ciertas relaciones con otras teorías matemáticas, en particular, con todas las teorías matemáticas tradicionales y a partir de sus principios se mantiene la existencia, estructura y relaciones mutuas entre ellos. Es decir, que el resto de la matemática puede expresarse en términos de conjuntos.
Georg Cantor (1845–1918) matemático, físico y filósofo alemán de origen ruso. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Es considerado como el padre de “la teoría de conjuntos”.
Cantor operó con conjuntos infinitos, transformando unos en otros mediante reglas precisas, los comparó respecto a su cardinalidad y mostró cómo asignar un número cardinal a cada conjunto. Entre sus primeros resultados encontró que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, si tienen correspondencia biunívoca entre ellos. Si dos conjuntos no tienen la misma cardinalidad, pero tienen correspondencia biunívoca con un subconjunto de otro, la cardinalidad del primero es menor que la del segundo.
Su mente luchó contra varias paradojas de la teoría de conjuntos, en otras la paradoja de Bertrand Russell, que parecían invalidar toda su teoría; es decir, la hacía inconsistente o contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa.
A fines de mayo de 1884 Cantor tuvo su primer ataque registrado de depresión. Se recuperó después de unas cuantas semanas, pero aparecía menos confiado. En junio de 1917 ingresó una institución mental de Halle (ciudad del centro de Alemania) por última vez; de allí le escribía continuamente a su esposa pidiendo que le permitiera regresar a casa. Murió en un ataque cardiaco, el 6 de enero de 1918, cuando tenía 73 años de edad.

7.2 Concepto de conjunto

Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales, personas o números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada. A los objetos del conjunto se denominan “elementos”.

Ejemplo 7.1: Los siguientes son algunos ejemplos de conjunto:
. El conjunto formado por los colores de la bandera de Colombia.

. La colección de letras de la palabra “murciélago”.

.El conjunto formado por los dígitos del número 345923238.

.La agrupación de números naturales menores que 10

.La agrupación de números primos entre 0 y 20.

7.3 Notación de conjuntos

Ejemplo 7.2: utilice la notación correcta para escribir los conjuntos dados en el ejemplo 7.1

A= El conjunto formado por los colores de la bandera de Colombia.

B= La colección de letras de la palabra “murciélago”

C= El conjunto formado por los dígitos del número 345923238

D= La agrupación de números naturales menores que 10

E= La agrupación de números primos entre 0 y 20

7.4 Determinación de conjuntos

La determinación de un conjunto corresponde a la manera como éste puede expresarse. Para determinar un conjunto se utilizan dos formas: determinación por extensión y la determinación por comprensión.

7.4.1 Determinación de conjuntos por extensión

Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los elementos del conjunto. Cuando el conjunto es finito se escriben entre llaves, separados por comas. Cuando el conjunto es infinito se escriben entre llaves algunos elementos y se ponen puntos suspensivos

Ejemplo 7.3: Determine por extensión los conjuntos del ejemplo 7.2

A={amarillo, azul, rojo}

B={m, u, r, c, i, e, l, a, g, o}

C={3,4,5,9,2,8}, no se repiten elementos

D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

E={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

7.4.2 Determinación de conjuntos por comprensión

Un conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que distingue a los elementos. Para tal fin se utiliza lo siguiente:
{x/x cumple la propiedad},
que se lee: el conjunto de las x tal que x cumple la propiedad

Ejemplo 7.3: Determine por comprensión los conjuntos del ejemplo 7.2

A={x/ x es un color de la bandera de Colombia}

B={x/ x es una letra de la palabra “murciélago”}

C={ x/ x es un dígito del número 345923238}

D={ x/ x es un número natural menor que 10}

E={ x/ x es número primo entre 0 y 20}

7.5 Representación de conjuntos

Existen varias formas de representar los conjuntos: representación gráfica y representación en la computadora.

7.5.1 Representación gráfica de conjuntos

Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante diagramas de Venn y por diagramas de Caroll.
Diagramas de Venn (figura 7.1). Estos diagramas fueron descubiertos por el lógico y matemático británico John Venn (1834–1923). El sistema de representación que hoy conocemos fue desarrollado en julio de 1880 con la publicación titulada “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos” en el Philosophical Magazine and Journal of Science, lo cual provocó cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Esta representación más conocida como “diagramas de Venn”, consisten en figuras geométricas planas y cerradas; dentro de cada figura se ponen los elementos que le corresponden. Estos diagramas serán los utilizados en el desarrollo de este texto.

Diagramas de Carroll (figura 7.2). Son bastante útiles para el estudio de las propiedades de los complementos de conjuntos. Consisten en líneas perpendiculares que se cortan (una horizontal y otra perpendicular) tal que un plano cartesiano; en la parte superior e inferior de la línea horizontal se ponen los elementos que cumplen una propiedad y de manera similar al lado izquierdo y derecho de la línea vertical. De tal manera se pueden realizar las operaciones entre conjuntos.

7.5.2 Representación de conjuntos en la computadora

Un conjunto se puede representar en la computadora como arreglo unidimensional de longitud n (n número de elementos de A) que en el argot de la computación se denomina “vector” y por lo tanto, se pueden realizar las operaciones que hacen con conjuntos: intersección (datos repetidos de los vectores, eliminando los repetidos), unión (poniendo los elementos de los vectores, pero eliminando los repetidos) y así sucesivamente con la diferencia y el complemento.
Este tema sen tratará al final de este capítulo. Se recomienda para su estudio recordar los conceptos acerca del manejo de arreglos en computación.

7.6 Relaciones de conjuntos

Las relaciones que se pueden dar entre conjuntos son: pertenencia, inclusión e igualdad.

7.6.1 Relación de pertenencia

El signo que representa la relación de pertenencia es E, que fue descubierto por el matemático y filósofo italiano, Giuseppe Peano (1858 –1932), quien es conocido por sus contribuciones a la Teoría de conjuntos.
En efecto, sea A un conjunto cualquiera y x un elemento, para indicar que x es elemento de A o simplemente que, x está en A se simboliza

verá en la sección 6.9; tampoco se da entre elementos. Por lo tanto, es incorrecto escribir x E x o A E A

7.6.2 Relación de Inclusión de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, esta relación se utiliza para indicar que el conjunto A es subconjunto del conjunto B, lo cual se escribe:

y se lee: A es subconjunto de B, A está incluido en B, A está contenido en B, B incluye a A.

Si A es un subconjunto de B y existen elementos de B que no están en A, entonces A es un subconjunto propio de B y se simboliza

7.6.3 Propiedades de la inclusión

Sus demostraciones son sencillas; basta con utilizar las propiedades las definiciones de inclusión y pertenencia, además, de las propiedades de cuantificadores. En efecto veamos, x E A Por hipótesis

Ejemplo 7.5: dados los conjuntos A={3,5,6,9,4}, B={3,4,7,9,6,5} y C={3,9,5,7,4,6,8,} ponga entre el paréntesis V o F si los siguientes enunciados son verdadero o falso, respectivamente y justifique el por qué de los falsos.

Según el ejemplo se puede observar que A es subconjunto propio de B y a la vez éste de C.

7.6.4 Relación de igualdad de conjuntos

La igualdad de dos conjuntos A y B denotada
A=B

se da cuando todos los elementos de A están en B y viceversa. Simbólicamente,

Esta equivalencia se conoce como axioma de extensionalidad. La igualdad de conjuntos intuitivamente dice: “dos conjuntos son iguales si y solo tienen los mismos elementos (no importa el orden)”. Tenga en cuenta que este concepto es diferente a decir: “dos conjuntos son iguales si y solo tienen la misma cantidad de elementos”.
Si algún elemento x de A no está en B o algún elemento x de B no está en A se dice que A es diferente de B y se simboliza

Ejemplo 7.6: dados los conjuntos
A={x/x es un número primo positivo menor que 8},

B={ x/x es un factor de 210}

¿A=B? Compruébelo.
A={2,3,5,7}

B={2,3,5,7}
Luego, los conjuntos son iguales

7.7 Clases de conjuntos

7.7.1 Conjunto finito

Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos se pueden nombrar o enumerar.
Ejemplo 7.9: A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}

7.7.2 Conjunto vacío

Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen como un conjunto sin elementos. Este último concepto se presta para confusiones cuando se dice “conjunto sin elementos”; pues se sabe que un conjunto es una agrupación de objetos que cumplen una propiedad determinada.
Esta confusión se aclara defiendo el conjunto vacío como aquel en que ningún elemento cumple con la propiedad conocida como “regla de elegibilidad”.

No es correcto decir, “un conjunto vacío”; debe decirse siempre “el conjunto vacío” porque este conjunto es único.

7.7.3 Propiedades del conjunto vacío

Ejemplo 7.10: los siguientes ejemplos ayudan a conceptualizar el conjunto vacío:

mapas de karnaugh

Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas.

 El mapa de Karnaugh fue inventado en 1953 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.

Cálculo de número de renglones y columnas del mapa

El número de renglones y columnas de un mapa de Karnaugh normalmente suele representarse como un mapa cuadrado (número de renglones = número de columnas) cuando el número de variables es par (2, 4, 6, 8... etc) y cuando el número de variables es impar el número de renglones igual a la mitad del número de columnas; siguiendo la siguientes fórmulas:

• Cuando el número de variables es par:

${\displaystyle renglones=columnas={\sqrt {2^{variables}}}}$

• Cuando el número de variables es impar:

${\displaystyle columnas={\sqrt {2^{variables+1}}}}$

${\displaystyle renglones={\frac {columnas}{2}}}$

UN EJEMPLO....

Dada la siguiente función algebraica booleana representada como el sumatorio de sus minitérminos, y con las variables Booleanas ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$, la función se puede representar con dos notaciones distintas:

• ${\displaystyle f(A,B,C,D)=\sum _{}(6,8,9,10,11,12,13,14)}$
• ${\displaystyle f(A,B,C,D)=({\overline {A}}BC{\overline {D}})+(A{\overline {B}}\,{\overline {C}}\,{\overline {D}})+(A{\overline {B}}\,{\overline {C}}D)+(A{\overline {B}}C{\overline {D}})+(A{\overline {B}}CD)+(AB{\overline {C}}\,{\overline {D}})+(AB{\overline {C}}D)+(ABC{\overline {D}})}$

Tabla de verdad[editar]

Utilizando los Minterm definidos, se elabora la tabla de verdad:

#	${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle C}$	${\displaystyle D}$	${\displaystyle f(A,B,C,D)}$
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	0
6	0	1	1	0	1
7	0	1	1	1	0
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	1
11	1	0	1	1	1
12	1	1	0	0	1
13	1	1	0	1	1
14	1	1	1	0	1
15	1	1	1	1	0

Reglas de simplificación

1.  Las agrupaciones son exclusivamente de unos. Esto implica que ningún grupo puede contener ningún cero.

2. Las agrupaciones únicamente pueden hacerse en horizontal y vertical. Esto implica que las diagonales están prohibidas.

3.  Los grupos han de contener 2ⁿ elementos. Es decir que cada grupo tendrá 1,2,4,8... número de unos.

 

4.  Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible. Tal y como lo ilustramos en el ejemplo.

5.  Todos los unos tienen que pertenecer como mínimo a  un grupo. Aunque pueden pertenecer a más de uno.

6.  Pueden existir solapamiento de grupos.

7.  La formación de grupos también se puede producir con las celdas extremas de la tabla. De tal forma que la parte inferior se podría agrupar con la superior y la izquierda con la derecha tal y como se explica en el ejemplo.

8.  Tiene que resultar el menor número de grupos posibles siempre y cuando no contradiga ninguna de las reglas anteriores. Esto es el número de grupos ha de ser minimal.

 

Características de las matemáticas

1-.Los procesos en matemáticas discretas son contables, como por ejemplo, los números enteros, grafos y sentencias de lógica.

2-.Mayor mente las matemáticas discretas son contables, como por ejemplo, los números enteros, grafos y sentencias de lógica.

3-.En las matemáticas discretas desde siempre asido difícil resolverlas 

4-..Las matemáticas discretas desde siempre se han encargado de estudiar objetos enumerables con valores distintos, separables. 

Qué es la matemática?

Cuando hablamos de matemática o matemáticas, nos referimos a un conjunto de lenguajes formales que, partiendo de axiomas y obedeciendo al razonamiento lógico, sirven para plantear y resolver problemas de modo preciso (no ambiguo), en el marco de contextos muy específicos.

Esto quiere decir que las matemáticas son un conjunto de leyes formales, o sea, abstractas, que atañen a objetos en la mente del hombre, como son los números, los ángulos, las formas geométricas, etc.
La matemática se ocupa de la estructura, el orden, la relación, la contabilidad, la medición o la descripción de los objetos, pero no de qué cosa son, de qué están compuestos, ni de los aspectos concretos del universo.
El estudio de la matemática involucra la comprensión de un número de complejos sistemas de razonamiento, que combinan axiomas y teoremas deducidos a partir de ellos.
Se considera que, junto al lenguaje verbal, la matemática es una de las más poderosas, vastas y complejas herramientas mentales creadas por el ser humano.

Características de la matemática

Fuente: https://www.caracteristicas.co/matematica/#ixzz5kujPRZri

TORRES DE HANOI

El juego, en su forma más tradicional, consiste en tres postes verticales. En uno de los postes se apila un número indeterminado de discos perforados por su centro (elaborados de madera), que determinará la complejidad de la solución. Por regla general se consideran siete discos. Los discos se apilan sobre uno de los postes en tamaño decreciente de abajo a arriba. No hay dos discos iguales, y todos ellos están apilados de mayor a menor radio -desde la base del poste hacia arriba- en uno de los postes, quedando los otros dos postes vacíos. El juego consiste en pasar todos los discos desde el poste ocupado (es decir, el que posee la torre) a uno de los otros postes vacíos. Para realizar este objetivo, es necesario seguir tres simples reglas:

1. Solo se puede mover un disco cada vez y para mover otro los demás tienen que estar en postes.

1. Un disco de mayor tamaño no puede estar sobre uno más pequeño que él mismo.

1. Solo se puede desplazar el disco que se encuentre arriba en cada poste.

Existen diversas formas de llegar a la solución final, todas ellas siguiendo estrategias diversas.

Reglas matemáticas de los desplazamientos[editar]

A la hora de resolver matemáticamente el problema, se producen numerosas circunstancias matemáticas particulares respecto a la resolución. Son las siguientes:

• La ficha número n (siendo 1 la más pequeña) se mueve por primera vez en el paso número 2^(n-1), y después de ese primer movimiento, se moverá cada 2^n movimientos. De este modo, la ficha 1, se mueve en 1, 3, 5, 7, 9... etc. La ficha 3, se mueve en 4, 12, 20, 28, 36... etc.
• Y el número de veces que se mueve cada ficha es de 2^(n-k),siendo n el número de fichas y k igual a 1 para la ficha más pequeña.
• El número de movimientos mínimo a realizar para resolver el problema es de (2^n)-1, siendo n el número de fichas.
• Todas las fichas impares (siendo 1 la más pequeña) se mueven siguiendo el mismo patrón. Asimismo, todas las fichas pares se mueven siguiendo el patrón inverso a las impares. Por ejemplo: si se quiere mover un número impar de piezas desde la columna 1 hasta la 3, sucederá lo siguiente:

• Todas las fichas impares seguirán este patrón de movimiento: 1 -> 3 -> 2 -> 1 -> 3 -> 2 -> 1 -> 3 -> 2 -> 1.
• Todas las fichas pares seguirán este patrón de movimiento: 1 -> 2 -> 3 -> 1 -> 2 -> 3 -> 1 -> 2 -> 3

Estos patrones dependen únicamente del número de piezas. Si el número de piezas es par, los patrones de las impares serán los de las pares, y viceversa.

• Uniendo la primera regla con la segunda, se sabe siempre qué pieza hay que mover y a qué columna hay que desplazarla, por lo que el problema queda resuelto.

SERIE FIBONACCI

 Los números de Fibonacci

Existen diferentes formas para calcular los números de Fibonacci:

1. Partiendo de los números 0 y 1, los números de Fibonacci quedan definidos por la función

2. Función generadora: Una función generadora para una sucesión cualquiera a0, a1, a2,… es la función f(X) = a0 + a1x + a2x2+…, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora:

3. Fórmula explícita: Esta manera de calcular los números de Fibonacci utiliza la expresión del número áureo:

Los números de Fibonacci en las matemáticas

Número áureo

El número áureo, número de oro o divina proporción es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b): la longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.

Entre sus numerosas propiedades destaca una: el propio número, su cuadrado y su inverso tienen las mismas cifras decimales:

La razón o cociente entre un término de Fibonacci y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo:

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Esto es, cada fila del triángulo representa los coeficientes de los monomios que aparecen en el desarrollo del binomio (a + b)n(tomando el 1 de arriba como la potencia n = 0) o, lo que es lo mismo, los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila del triángulo de Pascal.

La construcción de dicho triángulo es la siguiente:

Colocamos un 1 en el vértice superior del triángulo. Después, en la fila inferior, colocamos un 1 a la derecha y un 1 a la izquierda del 1 de arriba. En las filas inferiores, colocamos 1s en los extremos y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números inmediatamente superiores.

Este triángulo tiene varias propiedades curiosas:

1. Si sumamos los elementos de cada fila obtenemos las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16,…
2. Si sumamos dos elementos consecutivos de la diagonal 1-3-6-10-15-… obtenemos un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25,…
3. Si en una fila el primer número después del 1 es un número primo se cumple que todos los demás números son divisibles por ese número primo (excluyendo los 1s claro). Por ejemplo, en la fila 1-7-21-35-35-21-7-1 el primer número después del 1 es el 7, que es primo. Si nos fijamos en el resto de número, 35, 21 y 7, todos son divisibles por 7.

Pero la principal curiosidad de este triángulo es la propiedad que le relaciona con los números de Fibonacci:

Ternas Pitagóricas

Una terna pitagórica consiste en una tripla (a, b, c) que cumple que a² + b² = c² (teorema de Pitágoras).

Existe una estrecha relación entre los números de Fibonacci y las ternas pitagóricas, ya que si cogemos cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, (x, y, w, z) podemos conseguir una terna pitagórica si realizamos las siguientes asignaciones:

1. Sea ‘a’ el producto de los números que pertenecen a los extremos. a = xz.
2. Sea ‘b’ el doble del producto de los números intermedio. b = 2yw.
3. Sea ‘c’ la suma del producto de los números que están en posición impar y el producto de los números que están en posición par. c = xw + zy.

Entonces (a, b, c) es una terna pitagórica.

Los números de Fibonacci en las técnicas de trading

En trading, los números de Fibonacci aparecen en los denominados estudios de Fibonacci. Los estudios de Fibonacci engloban a una serie de herramientas de análisis basadas en la secuencia y proporciones de Fibonacci, que representan leyes geométricas de la naturaleza y el comportamiento humano aplicadas a los mercados financieros.

Las herramientas más populares son los retrocesos de Fibonacci, las extensiones de Fibonacci, los arcos de Fibonacci, el abanico de Fibonacci y las zonas temporales de Fibonacci. Otras herramientas menos populares son la elipse de Fibonacci, la espiral de Fibonacci y los canales de Fibonacci. En el siguiente post veremos cómo funcionan estas herramientas.

TRIANGULOS DE PASCAL

Los triangulos de pascal 

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito.

Triángulo de Pascal y números Combinatorios

El número combinatorio C^m _n (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1. 

1            1    1         1    2    1      1    3    3    1    1    4    6    4    1 1   5   10  10    5   1             ...

Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila. 
Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.

Por el contrario, a la fórmula de los números combinatorios se le puede dar el carácter de fórmula general del triángulo para saber, sin necesidad de construir todas las filas anteriores, cuál es el número que ocupa un lugar determinado,:

Triángulo de Pascal y Binomio de Newtón

La fórmula es:

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:
          (a + b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

Más propiedades del triángulo de Pascal:

Lo difícil es mirar este triángulo durante un par de minutos y no encontrarle alguna regularidad oculta.

• Números poligonales
  
  ¿Podríais decir qué sucesiones son las que forman las diagonales del triángulo? Las primeras de la izquierda y la derecha no son más que unos. Las segunda forman la sucesión de los números naturales... ¿Y la tercera? ¿Y la cuarta? 
  
  
  
  En la diagonal tercera marcada aparecen
  los números triangulares
  , pero además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonales, es decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez números triangulares.
  
  
  
  
  Los números cuadrados
  se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...
  De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal. 


• Números primos
  Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.


• La suma de los elementos
  La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila. Así:
  2⁰ = 1
  2¹ = 1+1 = 2
  2² = 1+2+1 = 4
  2³ = 1+3+3+1 = 8
  2⁴ = 1+4+6+4+1 = 16


• Sucesión de Fibonacci
  La serie de Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión.
  Recordemos que esta sucesión (que, por cierto, se construye de manera similar al triángulo de Pascal), es:
  1,1,2,3,5,8,13,21,...
  (a_n+1 = a_n + a_n-1con a₀ = 1, a₁= 1)
  


• Potencias de 11 
  Podemos interpretar cada fila como un único número. Si la fila está formada por números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos:
  1-2-1............................ 121 = 11²
  Cuando los números de la fila constan de más de un dígito, se "reparten" para formar el número final como se observa en el ejemplo siguiente para la fila 5:
  1-5-10-10-5-1........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 11⁵


• El "stick de hockey"
  
  
  
  Cualquier diagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad:
  La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.
  
  
• El triángulo de Sierpinski El curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares del triángulo y de blanco los pares, recuerda altriángulo de Sierpinski , uun famoso conjunto geométrico (un fractal determinístico que se puede construir a partir de cualquier triángulo) El applet de Java de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se va aproximando al triángulo de Sierpinski.



• Cambiando extremos

  2            1   2         1   3   2      1   4   5   2    1   5   9   7  2 1   6   14  16  9  2             ......

  ¿Qué pasaría si cambiamos los unos de uno de los lados externos del triángulo de Pascal por doses ?. ¿Qué relaciones numéricas se pueden encontrar? ¿Qué sucedería si en lugar de doses colocamos treses o cuatros?