*La enumeración o conteo puede parecer un proceso obvio que u estudiante aprende a estudiar aritmética por primera vez. Pero luego según parece se presta poca atención en lo que se refiere a un desarrollo más amplio del conteo con forme al estudiante pasa áreas mas difícil de las matemáticas, como el álgebra, geometría, trigonometría y el calculo. En consecuencia deberá servir como advertencia acerca del conteo.
*La enumeración no termina con la aritmética: también en aplicaciones en áreas como la teoría de códigos como la contabilidad y estadísticas.
1:Si una primera tarea puede realizarse de "m" formas mientras que una tarea puede realizarse de "n" formas y no es posible realizar ambas tareas de manera simultanea, entonces para llevar a cabo cualquiera de ellas puede utilizarse cualquiera de ellas. 2:Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda y si existen "m" resultados posibles de la primera etapa, para cada uno de estos resultados existen "n" resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total que se puede realizar en el orden dado.
1-.Concepto de conjunto. Se denomina conjunto a la agrupación de entes o elementos, que poseen una o varias características en común. Es un concepto intuitivo empleado en matemática, que elaboró la teoría de conjuntos.
Los diversos polígonos en la imagenconstituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas,números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Ros es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
El término
conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la estructura
matemática. Generalmente, esta palabra se acepta en matemáticas como un
término indefinido, tal como en geometría que toma, entre otros, los
términos punto, línea, plano, que sin definición pero si de manera
intuitiva. Similarmente sucede con el término elemento.
La teoría de
conjuntos es una parte de las matemáticas que tiene un objeto de
estudio propio; con métodos propios, con ciertas relaciones con otras
teorías matemáticas, en particular, con todas las teorías matemáticas
tradicionales y a partir de sus principios se mantiene la existencia,
estructura y relaciones mutuas entre ellos. Es decir, que el resto de la
matemática puede expresarse en términos de conjuntos.
Georg Cantor
(1845–1918) matemático, físico y filósofo alemán de origen ruso. Se
doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la
Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de
conjuntos. Es considerado como el padre de “la teoría de conjuntos”.
Cantor
operó con conjuntos infinitos, transformando unos en otros mediante
reglas precisas, los comparó respecto a su cardinalidad y mostró cómo
asignar un número cardinal a cada conjunto. Entre sus primeros
resultados encontró que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, si
tienen correspondencia biunívoca entre ellos. Si dos conjuntos no tienen
la misma cardinalidad, pero tienen correspondencia biunívoca con un
subconjunto de otro, la cardinalidad del primero es menor que la del
segundo.
Su mente luchó contra varias paradojas de la teoría de
conjuntos, en otras la paradoja de Bertrand Russell, que parecían
invalidar toda su teoría; es decir, la hacía inconsistente o
contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a
la vez cierta y falsa.
A fines de mayo de 1884 Cantor tuvo su primer
ataque registrado de depresión. Se recuperó después de unas cuantas
semanas, pero aparecía menos confiado. En junio de 1917 ingresó una
institución mental de Halle (ciudad del centro de Alemania) por última
vez; de allí le escribía continuamente a su esposa pidiendo que le
permitiera regresar a casa. Murió en un ataque cardiaco, el 6 de enero
de 1918, cuando tenía 73 años de edad.
7.2 Concepto de conjunto
Se
llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos
(cosas, animales, personas o números) bien definidos que cumplen una
propiedad determinada. A los objetos del conjunto se denominan “elementos”.
Ejemplo 7.1: Los siguientes son algunos ejemplos de conjunto:
. El conjunto formado por los colores de la bandera de Colombia.
. La colección de letras de la palabra “murciélago”.
.El conjunto formado por los dígitos del número 345923238.
.La agrupación de números naturales menores que 10
.La agrupación de números primos entre 0 y 20.
7.3 Notación de conjuntos
Ejemplo 7.2: utilice la notación correcta para escribir los conjuntos dados en el ejemplo 7.1
A= El conjunto formado por los colores de la bandera de Colombia.
B= La colección de letras de la palabra “murciélago”
C= El conjunto formado por los dígitos del número 345923238
D= La agrupación de números naturales menores que 10
E= La agrupación de números primos entre 0 y 20
7.4 Determinación de conjuntos
La
determinación de un conjunto corresponde a la manera como éste puede
expresarse. Para determinar un conjunto se utilizan dos formas:
determinación por extensión y la determinación por comprensión.
7.4.1 Determinación de conjuntos por extensión
Un
conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los
elementos del conjunto. Cuando el conjunto es finito se escriben entre
llaves, separados por comas. Cuando el conjunto es infinito se escriben
entre llaves algunos elementos y se ponen puntos suspensivos
Ejemplo 7.3: Determine por extensión los conjuntos del ejemplo 7.2
A={amarillo, azul, rojo}
B={m, u, r, c, i, e, l, a, g, o}
C={3,4,5,9,2,8}, no se repiten elementos
D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
E={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
7.4.2 Determinación de conjuntos por comprensión
Un
conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o
cualidad que distingue a los elementos. Para tal fin se utiliza lo
siguiente:
{x/x cumple la propiedad},
que se lee: el conjunto de las x tal que x cumple la propiedad
Ejemplo 7.3: Determine por comprensión los conjuntos del ejemplo 7.2
A={x/ x es un color de la bandera de Colombia}
B={x/ x es una letra de la palabra “murciélago”}
C={ x/ x es un dígito del número 345923238}
D={ x/ x es un número natural menor que 10}
E={ x/ x es número primo entre 0 y 20}
7.5 Representación de conjuntos
Existen varias formas de representar los conjuntos: representación gráfica y representación en la computadora.
7.5.1 Representación gráfica de conjuntos
Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante diagramas de Venn y por diagramas de Caroll. Diagramas de Venn
(figura 7.1). Estos diagramas fueron descubiertos por el lógico y
matemático británico John Venn (1834–1923). El sistema de representación
que hoy conocemos fue desarrollado en julio de 1880 con la publicación
titulada “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y
razonamientos” en el Philosophical Magazine and Journal of Science, lo
cual provocó cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Esta
representación más conocida como “diagramas de Venn”, consisten en
figuras geométricas planas y cerradas; dentro de cada figura se ponen
los elementos que le corresponden. Estos diagramas serán los utilizados
en el desarrollo de este texto.
Diagramas de Carroll
(figura 7.2). Son bastante útiles para el estudio de las propiedades de
los complementos de conjuntos. Consisten en líneas perpendiculares que
se cortan (una horizontal y otra perpendicular) tal que un plano
cartesiano; en la parte superior e inferior de la línea horizontal se
ponen los elementos que cumplen una propiedad y de manera similar al
lado izquierdo y derecho de la línea vertical. De tal manera se pueden
realizar las operaciones entre conjuntos.
7.5.2 Representación de conjuntos en la computadora
Un
conjunto se puede representar en la computadora como arreglo
unidimensional de longitud n (n número de elementos de A) que en el
argot de la computación se denomina “vector” y por lo tanto, se pueden
realizar las operaciones que hacen con conjuntos: intersección (datos
repetidos de los vectores, eliminando los repetidos), unión (poniendo
los elementos de los vectores, pero eliminando los repetidos) y así
sucesivamente con la diferencia y el complemento.
Este tema sen
tratará al final de este capítulo. Se recomienda para su estudio
recordar los conceptos acerca del manejo de arreglos en computación.
7.6 Relaciones de conjuntos
Las relaciones que se pueden dar entre conjuntos son: pertenencia, inclusión e igualdad.
7.6.1 Relación de pertenencia
El
signo que representa la relación de pertenencia es E, que fue
descubierto por el matemático y filósofo italiano, Giuseppe Peano (1858
–1932), quien es conocido por sus contribuciones a la Teoría de
conjuntos.
En efecto, sea A un conjunto cualquiera y x un elemento,
para indicar que x es elemento de A o simplemente que, x está en A se
simboliza
verá en la sección 6.9; tampoco se da entre elementos. Por lo tanto, es incorrecto escribir x E x o A E A
7.6.2 Relación de Inclusión de conjuntos
Dados
dos conjuntos A y B, esta relación se utiliza para indicar que el
conjunto A es subconjunto del conjunto B, lo cual se escribe:
y se lee: A es subconjunto de B, A está incluido en B, A está contenido en B, B incluye a A.
Si A es un subconjunto de B y existen elementos de B que no están en A, entonces A es un subconjunto propio de B y se simboliza
7.6.3 Propiedades de la inclusión
Sus
demostraciones son sencillas; basta con utilizar las propiedades las
definiciones de inclusión y pertenencia, además, de las propiedades de
cuantificadores. En efecto veamos, x E A Por hipótesis
Ejemplo 7.5:
dados los conjuntos A={3,5,6,9,4}, B={3,4,7,9,6,5} y C={3,9,5,7,4,6,8,}
ponga entre el paréntesis V o F si los siguientes enunciados son
verdadero o falso, respectivamente y justifique el por qué de los
falsos.
Según el ejemplo se puede observar que A es subconjunto propio de B y a la vez éste de C.
7.6.4 Relación de igualdad de conjuntos
La igualdad de dos conjuntos A y B denotada
A=B
se da cuando todos los elementos de A están en B y viceversa. Simbólicamente,
Esta
equivalencia se conoce como axioma de extensionalidad. La igualdad de
conjuntos intuitivamente dice: “dos conjuntos son iguales si y solo
tienen los mismos elementos (no importa el orden)”. Tenga en cuenta que
este concepto es diferente a decir: “dos conjuntos son iguales si y solo
tienen la misma cantidad de elementos”.
Si algún elemento x de A no está en B o algún elemento x de B no está en A se dice que A es diferente de B y se simboliza
Ejemplo 7.6: dados los conjuntos
A={x/x es un número primo positivo menor que 8},
B={ x/x es un factor de 210}
¿A=B? Compruébelo.
A={2,3,5,7}
B={2,3,5,7}
Luego, los conjuntos son iguales
7.7 Clases de conjuntos
7.7.1 Conjunto finito
Es
aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es
aquel conjunto en que sus elementos se pueden nombrar o enumerar. Ejemplo 7.9:
A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este
conjunto está formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1,
2, 3,4}
7.7.2 Conjunto vacío
Existe
un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y
algunos definen como un conjunto sin elementos. Este último concepto se
presta para confusiones cuando se dice “conjunto sin elementos”; pues se
sabe que un conjunto es una agrupación de objetos que cumplen una
propiedad determinada.
Esta confusión se aclara defiendo el conjunto
vacío como aquel en que ningún elemento cumple con la propiedad
conocida como “regla de elegibilidad”.
No es correcto decir, “un conjunto vacío”; debe decirse siempre “el conjunto vacío” porque este conjunto es único.
7.7.3 Propiedades del conjunto vacío
Ejemplo 7.10: los siguientes ejemplos ayudan a conceptualizar el conjunto vacío:
Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicasBooleanas.
El mapa de Karnaugh fue inventado en 1953 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.
Cálculo de número de renglones y columnas del mapa
El número de renglones y columnas de un mapa de Karnaugh normalmente suele representarse como un mapa cuadrado (número de renglones = número de columnas) cuando el número de variables es par (2, 4, 6, 8... etc) y cuando el número de variables es impar el número de renglones igual a la mitad del número de columnas; siguiendo la siguientes fórmulas:
Cuando el número de variables es par:
Cuando el número de variables es impar:
UN EJEMPLO....
Dada la siguiente función algebraica booleana representada como el sumatorio de sus minitérminos, y con las variables Booleanas , , , , la función se puede representar con dos notaciones distintas:
1.Las agrupaciones son exclusivamente de unos. Esto
implica que ningún grupo puede contener ningún cero.
2.
Las agrupaciones únicamente pueden hacerse en horizontal y
vertical. Esto implica que las diagonales están prohibidas.
3.Los grupos han de contener 2nelementos.
Es decir que cada grupo tendrá 1,2,4,8... número de unos.
4.Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible. Tal
y como lo ilustramos en el ejemplo.
5.Todos los unos tienen que pertenecer como mínimo aun grupo.Aunque pueden pertenecer a más de uno.
6.Pueden existir solapamiento de grupos.
7.La formación de grupos también
se puede producir con las celdas extremas de la tabla. De tal forma que
la parte inferior se podría agrupar con la superior y la izquierda con la
derecha tal y como se explica en el ejemplo.
8.Tiene que resultar el menor número de grupos posibles siempre
y cuando no contradiga ninguna de las reglas anteriores. Esto es
el número de grupos ha de ser minimal.
1-.Los procesos en matemáticas discretas son contables, como por ejemplo, los números enteros, grafos y sentencias de lógica. 2-.Mayor mente las matemáticas discretas son contables, como por ejemplo, los números enteros, grafos y sentencias de lógica. 3-.En las matemáticas discretas desde siempre asido difícil resolverlas 4-..Las matemáticas discretas desde siempre se han encargado de estudiar objetos enumerables con valores distintos, separables.
Qué es la matemática?
Cuando hablamos de matemática o matemáticas, nos referimos a un conjunto de lenguajes
formales que, partiendo de axiomas y obedeciendo al razonamiento
lógico, sirven para plantear y resolver problemas de modo preciso (no
ambiguo), en el marco de contextos muy específicos.
Esto quiere decir que las matemáticas son un conjunto de leyes formales, o sea, abstractas, que atañen a objetos en la mente del hombre, como son los números, los ángulos, las formas geométricas, etc.
La matemática se ocupa de la estructura, el orden,
la relación, la contabilidad, la medición o la descripción de los
objetos, pero no de qué cosa son, de qué están compuestos, ni de los
aspectos concretos del universo.
El estudio de la matemática involucra la comprensión
de un número de complejos sistemas de razonamiento, que combinan
axiomas y teoremas deducidos a partir de ellos.
Se considera que, junto al lenguaje verbal, la matemática es una de
las más poderosas, vastas y complejas herramientas mentales creadas por
el ser humano.
El juego, en su forma más tradicional, consiste en tres postes verticales. En uno de los postes se apila un número indeterminado de discos perforados por su centro (elaborados de madera), que determinará la complejidad de la solución. Por regla general se consideran siete discos. Los discos se apilan sobre uno de los postes en tamaño decreciente de abajo a arriba. No hay dos discos iguales, y todos ellos están apilados de mayor a menor radio -desde la base del poste hacia arriba- en uno de los postes, quedando los otros dos postes vacíos. El juego consiste en pasar todos los discos desde el poste ocupado (es decir, el que posee la torre) a uno de los otros postes vacíos. Para realizar este objetivo, es necesario seguir tres simples reglas:
Solo se puede mover un disco cada vez y para mover otro los demás tienen que estar en postes.
Un disco de mayor tamaño no puede estar sobre uno más pequeño que él mismo.
Solo se puede desplazar el disco que se encuentre arriba en cada poste.
Existen diversas formas de llegar a la solución final, todas ellas siguiendo estrategias diversas.
A la hora de resolver matemáticamente el problema, se producen numerosas circunstancias matemáticas particulares respecto a la resolución. Son las siguientes:
La ficha número n (siendo 1 la más pequeña) se mueve por primera vez en el paso número 2^(n-1), y después de ese primer movimiento, se moverá cada 2^n movimientos. De este modo, la ficha 1, se mueve en 1, 3, 5, 7, 9... etc. La ficha 3, se mueve en 4, 12, 20, 28, 36... etc.
Y el número de veces que se mueve cada ficha es de 2^(n-k),siendo n el número de fichas y k igual a 1 para la ficha más pequeña.
El número de movimientos mínimo a realizar para resolver el problema es de (2^n)-1, siendo n el número de fichas.
Todas las fichas impares (siendo 1 la más pequeña) se mueven siguiendo el mismo patrón. Asimismo, todas las fichas pares se mueven siguiendo el patrón inverso a las impares. Por ejemplo: si se quiere mover un número impar de piezas desde la columna 1 hasta la 3, sucederá lo siguiente:
Todas las fichas impares seguirán este patrón de movimiento: 1 -> 3 -> 2 -> 1 -> 3 -> 2 -> 1 -> 3 -> 2 -> 1.
Todas las fichas pares seguirán este patrón de movimiento: 1 -> 2 -> 3 -> 1 -> 2 -> 3 -> 1 -> 2 -> 3
Estos patrones dependen únicamente del número de piezas. Si el número de piezas es par, los patrones de las impares serán los de las pares, y viceversa.
Uniendo la primera regla con la segunda, se sabe siempre qué pieza hay que mover y a qué columna hay que desplazarla, por lo que el problema queda resuelto.
